Dengan menguraikan 3α = 2α + α dan 2α = α + α, buktikan identitas trigonometri berikut. 1. sin 3α = 3 sin α - 4 sin³ α 2. cos 3α = 4cos³ α - 3 cos α 3. tan 3α =

1. Pernyataan sin 3 α = 3 sin α - 4 sin³ α adalah terbukti  benar.

2. Pernyataan cos 3 α = 4 cos³ α - 3 cos α adalah terbukti  benar.

3. Pernyataan tan 3α = [tex]\frac{3 tan \alpha \:-\: tan^3 \alpha}{1 \:-\: 3 tan^2 \alpha}[/tex] adalah terbukti  benar

Pembahasan

PEMBUKTIAN SUDUT RANGKAP TRIGONOMETRI

Pada segitiga siku - siku, dengan sisi siku - sikunya x dan y dengan r sebagai sisi miringnya, berlaku teorema Phytagoras.

x² + y² = r²

[tex](\frac{x}{r})^2 \:+\: (\frac{y}{r})^2 \:=\: (\frac{r}{r})^2[/tex]

sin² x + cos² x = 1

Maka

sin² x = 1 - cos² x

cos² x = 1 - sin² x

Rumus Jumlah Dan Selisih

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B

cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

tan (A + B) = [tex]\frac{tan \: A \:+\: tan B}{1 \:-\: tan \: A \: tan \: B}[/tex]

tan (A - B) = [tex]\frac{tan \: A \:-\: tan B}{1 \:+\: tan \: A \: tan \: B}[/tex]

Diketahui:

3α = 2α + α

2α = α + α

1. sin 3 α = 3 sin α - 4 sin³ α

2. cos 3 α = 4 cos³ α - 3 cos α

3. tan 3α = [tex]\frac{3 tan \alpha \:-\: tan^3 \alpha}{1 \:-\: 3 tan^2 \alpha}[/tex]

Ditanyakan:

Pembuktiannya ?

Penjelasan:

1. Cari dahulu sudut rangkap sin 2α dan cos 2α

sin 2α = sin (α + α)

= sin α cos α + cos α sin α

= sin α cos α + sin α cos α

= 2 sin α cos α

cos 2α = cos (α + α)

= cos α cos α - sin α sin α

= cos² α - sin² α

= (1 - sin² α) - sin² α

= 1 - sin² α - sin² α

= 1 - 2 sin² α

atau bisa juga

= cos ² α - sin² α

= cos² α - (1 - cos² α)

= cos² α - 1 + cos² α

= 2 cos² α - 1

sin 3α = sin (2α + α)

= sin 2α cos α + cos 2α sin α

= 2 sin α cos α cos α + (1 - 2 sin² α) sin α

= 2 sin α cos² α + sin α - 2 sin³ α

= 2 sin α (1 - sin² α) + sin α - 2 sin³ α

= 2 sin α - 2 sin³ α + sin α - 2 sin³ α

= 3 sin α - 4 sin³ α

Terbukti.

2. cos 3α = cos (2α + α)

= cos 2α cos α - sin 2α sin α

= (2 cos² - 1) cos α - 2 sin α cos α sin α

= 2 cos³ α - cos α - 2 sin² α cos α

= 2 cos³ α - cos α - 2 (1 - cos² α) cos α

= 2 cos³ α - cos α - 2 cos α + cos³ α

= 4 cos³ α - 3 cos α

Terbukti.

3. Cari dahulu sudut tan 2α

tan 2 α = tan (α + α)

= [tex]\frac{tan \alpha + tan \alpha}{1 - tan \alpha tan \alpha}[/tex]

= [tex]\frac{2 tan \alpha}{1 - tan^2 \alpha}[/tex]

tan 3α = tan (2α + α)

= [tex]\frac{tan 2\alpha + tan \alpha}{1 - tan 2 \alpha tan \alpha}[/tex]

= [tex]\frac{\frac{2tan \alpha}{1- tan^2 \alpha} + \frac{tan \alpha}{1}}{1 - \frac{2 tan \alpha}{1 - tan^2 \alpha} tan \alpha}[/tex]

= [tex]\frac{\frac{2tan \alpha + tan \alpha (1 - tan^2 \alpha)}{1- tan^2 \alpha}}{\frac{1 - tan^2 \alpha -2 tan^2 \alpha}{1 - tan^2 \alpha}}[/tex]

= [tex]\frac{2tan \alpha + tan \alpha - tan^3 \alpha}{1 - 3 tan^2 \alpha}[/tex]

= [tex]\frac{3 tan \alpha \:-\: tan^3 \alpha}{1 \:-\: 3 tan^2 \alpha}[/tex]

Terbukti.

Pelajari lebih lanjut

Pembuktian Trigonometri https://brainly.co.id/tugas/22253542

Pembuktian Trigonometri https://brainly.co.id/tugas/22667585

Pembuktian Trigonometri https://brainly.co.id/tugas/23026770

Pembuktian Trigonometri https://brainly.co.id/tugas/22694931

Detail Jawaban

Kelas : X

Mapel : Matematika

Bab : Trigonometri

Kode : 10.2.7.

#AyoBelajar